Sampurasun, kali ini abah bakalan ngebahas apa itu maxterm dan minterm pada elektronika digital, karena abah sama sama masih belajar kasih tau yah kalo ada kekeliruan pada postingan kali ini,, hatur nuhun.....
ALJABAR BOOLEAN
Aljabar boolean merupakan aljabar
yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik.
Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi
dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen).
Fungsi
boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu
tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan
variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi
logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel
kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua
kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner
dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi
biner.
Aljabar
boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas,
aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George
Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal
ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer.
Definisi Aljabar Boolean
Misalkan terdapat :
v Dua
operator biner : + ( OR ) dan ·
( AND)
v Sebuah
operator uner : ’.
v B
: himpunan yang didefinisikan pada opeartor +,·, dan ’
v 0
dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel (B, +, ·, ’) disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b,
c Î B
berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure :(i) a +
b Î B
(ii) a ·
b Î B
2. Identitas :(i)
a + 0 = a
(ii) a ·
1 = a
3. Komutatif :(i) a + b
= b + a
(ii) a ·
b = b · a
4. Distributif :(i) a ·
(b + c) = (a·b)
+ (a ·
c)
(ii) a +
(b ·
c) = (a + b) ·
(a + c)
5. Komplemen :(i) a + a’
= 1
(ii)
a ·
a’ = 0
Untuk mempunyai sebuah aljabar
Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen
himpunan B,
2. Kaidah
operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi
postulat Huntington
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar
Boolean dua-nilai:
v B = {0, 1}
v operator biner, + dan ·
v operator uner, ’
v Kaidah untuk operator biner dan
operator uner:
A
|
b
|
a × b
|
a
|
B
|
a + b
|
A
|
a’
|
||
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
||
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
||
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
||||
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Cek apakah
memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : jelas berlaku
2. Identitas: jelas berlaku
karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii)
1 × 0
= 0 ×
1 = 0
3.
Komutatif: jelas berlaku dengan melihat
simetri tabel operator biner.
4.
Distributif:
(i)
a × (b + c) = (a × b)
+ (a × c)
dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
A
|
b
|
c
|
b + c
|
a × (b + c)
|
a × b
|
a × c
|
(a × b) + (a × c)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
(ii) Hukum distributif a + (b
× c)
= (a + b) ×
(a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan
cara yang sama seperti (i).
5.
Komplemen: jelas berlaku karena Tabel diatas memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘
= 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a
× a
= 0, karena 0 ×
0’= 0 ×
1 = 0 dan 1 ×
1’ = 1 ×
0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka
terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
Ekspresi Boolean
Misalkan
(B, +,·,
’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ·’) adalah:
(i) setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(iii)
jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean,
maka e1 + e2, e1 × e2, e1’
adalah ekspresi Boolean
Contoh:
0
1
a
b
c
a + b
a × b
a’× (b + c)
a
× b’ + a × b
× c’ + b’, dan sebagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boolean
Contoh:
a’× (b
+ c)
jika a = 0, b = 1, dan c
= 0, maka hasil evaluasi ekspresi:
0’× (1
+ 0) = 1 × 1
= 1
Dua ekspresi Boolean
dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai
nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
a . (b +
c) = (a . b) + (a .c)
Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a
+ b .
Penyelesaian:
A
|
b
|
a’
|
a’b
|
a + a’b
|
a + b
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
Perjanjian: tanda titik (×) dapat dihilangkan dari penulisan
ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
1. a(b + c) = ab + ac
2. a + bc = (a + b) (a + c)
a × 0 , bukan a0
Prinsip Dualitas
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam
aljabar Boolean yang melibatkan operator +, ·, dan komplemen, maka jika
pernyataan S* diperoleh dengan cara
mengganti
·
dengan +
+ dengan
·
0 dengan
1
1 dengan
0
dan
membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual
dari S.
Contoh.
(i) (a × 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1
(ii) a(a‘
+ b) = ab dualnya a + a‘b = a
+ b
Fungsi Boolean
v Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn
ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bn ® B yang dalam hal ini Bn
adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered
n-tuple) di dalam daerah asal B.
v Setiap ekspresi Boolean tidak lain
merupakan fungsi Boolean.
v Misalkan sebuah fungsi Boolean
adalah
f(x, y, z) = xyz
+ x’y + y’z
Fungsi f memetakan
nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y, z) ke
himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x
= 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .
Contoh-contoh fungsi Boolean yang
lain:
1. f(x)
= x
2. f(x,
y) = x’y + xy’+ y’
3. f(x,
y) = x’ y’
4. f(x,
y) = (x + y)’
5. f(x,
y, z) = xyz’
v Setiap peubah di dalam fungsi
Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.
Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3
buah literal, yaitu x, y, dan z’.
Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y,
z) = xy z’, nyatakan h dalam
tabel kebenaran.
Penyelesaian:
X
|
y
|
z
|
f(x, y, z) = xy z’
|
0
0
0
0
1
1
1
1
|
0
0
1
1
0
0
1
1
|
0
1
0
1
0
1
0
1
|
0
0
0
0
0
0
1
0
|
Komplemen Fungsi
1.Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah
(i)
(x1 + x2)’ = x1’x2’
(ii)
(x1x2)’ = x1’+
x2’ (dual dari (i))
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’
= x’ + (y’z’ + yz)’
= x’
+ (y’z’)’ (yz)’
= x’
+ (y + z) (y’ + z’)
2.Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu
komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
dual dari f: x + (y’
+ z’) (y + z)
komplemenkan tiap literalnya: x’
+ (y + z) (y’ + z’) = f ’
Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y +
z)(y’ + z’)
Bentuk Kanonik
v Ada dua macam bentuk kanonik:
1. Penjumlahan
dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
Contoh:
1. f(x, y, z)
= x’y’z + xy’z’
+ xyz
à SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z)
= (x + y + z)(x + y’
+ z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’
+ z) à
POS Setiap suku (term) disebut maxterm
v Setiap minterm/maxterm
mengandung literal lengkap
Contoh . Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
a. SOP
Kombinasi
nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001,
100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah f(x,
y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
atau
(dengan menggunakan lambang minterm),
f(x, y, z)
= m1
+ m4 + m7
= å (1, 4, 7)
b. POS
Kombinasi
nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000,
010, 011, 101, dan 110, maka fungsi
Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah
f(x, y,
z)
= (x + y + z)(x
+ y’+ z)(x + y’+ z’)
(x’+ y
+ z’)(x’+ y’+ z)
atau dalam bentuk lain,
f(x,
y, z) = M0 M2
M3 M5 M6
= Õ(0, 2, 3, 5, 6)
Contoh .
Nyatakan fungsi Boolean f(x, y,
z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
(a)
SOP
x =
x(y
+ y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z
+ xy’z’
y’z =
y’z
(x + x’)
= xy’z + x’y’z
Jadi
f(x, y, z)
= x + y’z
= xyz +
xyz’ + xy’z + xy’z’
+ xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’
+ xyz
atau
f(x, y, z)
= m1 + m4 + m5 +
m6 + m7 = S (1,4,5,6,7)
(b)
POS
f(x, y,
z) = x +
y’z
= (x
+ y’)(x + z)
x
+ y’ = x + y’ + zz’
= (x +
y’ + z)(x + y’ + z’)
x
+ z = x
+ z + yy’
= (x
+ y + z)(x + y’ + z)
Jadi, f(x, y, z) = (x
+ y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y
+ z)(x + y’ + z)
=
(x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’
+ z’)
atau
f(x,
y, z) = M0M2M3 = Õ(0, 2, 3) DAFTAR PUSTAKA
Pandu
Kristiyanto. Alajabar Boolean. http://pandukristiyanto89.wordpress.com/2010/10/19/aljabar-boolean/
Anonim. Boolean Algebra. http://en.wikipedia.org/boolean_Algebra/.
Ira. Aljabar Boolean. https://lecturer.eepisits.edu/~ira/materi/matematika20diskrit/AljabarBoolean.pdf.
Segitu dulu pembahasan abah kali ini, semoga ujang dan eneng belom puas biar nyari lagi pembahasan di buku atau sumber lain yaah, sampurasun abah pamit!!
Tidak ada komentar:
Posting Komentar